Matemática
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Um prisma triangular regular tem 8 cm de aresta lateral da base. Determine a área da base, área total, área lateral e o volume

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lzbt

Boa noite! Sendo o comprimento de todas as arestas iguais a 8 cm, temos: Área da base: [latex]A_b=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}[/latex] Área lateral: [latex]A_l=3\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}=3\cdot 16\sqrt{3}=48\sqrt{3}[/latex] Área total: [latex]A_t=A_l+A_b=48\sqrt{3}+16\sqrt{3}=64\sqrt{3}[/latex] Volume: Precisamos calcular a altura da pirâmide, que pode ser obtido do triângulo retângulo com hipotenusa igual ao apótema da pirâmide (altura de uma das faces laterais) e o apótema da base (raio da circunferência inscrita na base). Então: Apótema da pirâmide: [latex]a_p=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}[/latex] Apótema da base: [latex]a_b=\dfrac{1}{3}\dfrac{l\sqrt{3}}{2}=\dfrac{l\sqrt{3}}{6}[/latex] Altura da pirâmide: [latex]a_p^2=a_b^2+h^2\\\left(\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2=\left(\dfrac{l\sqrt{3}}{6}\right)^2+h^2\\h^2=\dfrac{3l^2}{4}-\dfrac{3l^2}{36}\\h^2=\dfrac{24l^2}{36}\\h=\dfrac{l\sqrt{6}}{3}[/latex] Agora que temos a altura, podemos calcular o volume: [latex]V=\dfrac{1}{3}A_b\cdot h=\dfrac{1}{3}\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\dfrac{l\sqrt{6}}{3}\\V=\dfrac{l^3\sqrt{18}}{36}\\V=\dfrac{l^3\sqrt{2}}{12}=\dfrac{8^3\sqrt{2}}{12}\\V=\dfrac{128\sqrt{2}}{3}[/latex] Espero ter ajudado!

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