Matemática
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Binários ⇒ UNICAMP Para representar um número natural na base 2 (binária), escreve-se esse número como as somas das potências de 2. Por exemplo : 17 = 16 + 1 → 17 = 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ → 10001 a) Escreva 77 na base 2; b) Quantos números naturais positivos podem ser escritos na base 2 usando-se exatamente 5 algarismos ?; c) Escolhendo-se ao acaso um número natural n tal que 1 ≤ n ≤ 2⁵⁰, qual a probabilidade de que sejam usando exatamente 45 para representar n em binário ?

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raphaelinhasil

Olá João. A - Escreva 77 na base 2 Para passar um número natural qualquer de uma base para outra, basta fazer divisões sucessivas desse número pela base pedida 77 |_2_  1    38 |_2_         0    19 |_2_                        1    9  |_2_                       1     4  |_2_                              0     2  |_2_                                     0      1      Paramos quando o quociente é menor que a base. Os restos passaram a formar esse número, sendo que a ordem dos algarismos pelo formato que eu usei será dado pelos algarismos de trás pra frente. R:. (1001101)₂ = (77)₁₀ B - Quantos números naturais podem ser escritos na base 2 usando exatamente 5 algarismos? O maior número na base 2 de 5 algarismos será o (11111)₂, pois o maior resto possível na divisão por 2 é o 1, então basta preencher todos os algarismos pelo maior número possível. Já o menor número possível na base 2 de 5 algarismos é o (10000)₂, o primeiro número não poderia ser o 0, já que é o menor algarismo possível, já os demais sim. Fazendo a diferença entre esses números, temos  11111 - 10000    01111 Passando o resultado da diferença do maior número para o menor, para a base 10 1 . 2³ + 1 . 2² + 1 . 2¹ + 1 . 2º      8   +     4   +      2 +      1 =   15 Então a diferença entre o maior e o menor número de 5 algarismos na base 2, é igual a 14. Somando 1 unidade a esse número obtemos o total de números que podem ser formados com 5 algarismos na base 2. R:. 16 números C - Escolhendo-se ao acaso um número natural n tal que 1 ≤ n ≤ 2⁵º, qual a probabilidade de que sejam usados exatamente 45 algarismos para representar n binário ? Para responder essa questão, vamos descobrir quantos números são possíveis formar na base 2, que tenham 45 algarismos. O maior número na base 2 de 45 algarismos é um número formado por 45 algarismos 1, já o menor é formato pelo primeiro algarismo 1, seguido de 44 algarismos 0. A diferença entre esses números será um número com 44 algarismos 1. Vamos passar agora esse número para a base 10 1 . 2⁴³ + 1. 2⁴² + ... + 1 . 2º Note que temos a soma de uma progressão geométrica que é dada pela fórmula [latex]\mathsf{S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^{n}-1)}{q-1}}[/latex] Substituindo na equação, temos [latex]\mathsf{S_{44}=\dfrac{1\cdot(2^{44}-1)}{2-1}}\\\\\\\mathsf{S_{44}=2^{44}-1}[/latex] Portanto, a quantidade de números na base 2 com 45 algarismos é 2⁴⁴ Vamos achar agora a quantidade de dígitos no intervalo [1, 2⁵⁰]. Para isso, basta fazer a razão entre 2⁴⁴ e 2⁵º [latex]\mathsf{\dfrac{2^{44}}{2^{50}}=\dfrac{1}{2^6}=\dfrac{1}{64}=0,015625}[/latex] R:. Portanto, a probabilidade é de aproximadamente 1%. Dúvidas? comente.

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