Matemática
fernanda2013pop
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Analisando o gráfico abaixo, que mostra o gráfico (recorte) de uma função y=f(x). Responda: a) Que tipo de função o gráfico representa? b) Qual é o domínio da função? c) Qual é o conjunto imagem da função? d) Determine, aproximadamente, o valor das raízes da função. e) Faça o estudo do sinal da função. f) Identifique os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

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(1) Respostas
jayl2almeida

a) Uma função de segundo grau, do tipo y = ax²+bx+c b) Domínio dos números reais. c) Observe que você tem as raízes da equação, que são 2 e 3. Além do termo c (quando x é zero), que é 6. Portanto, y = ax²+bx+6. x=2 => y = 0, daqui podemos tirar: 4a + 2b + 6 = 0 (*) x=3 => y=0, daqui podemos tirar: 9a + 3b + 6 = 0 (**) Isolando a de (**) e substituindo em (*) a = -(b+2)/3 (***), substituindo, -4(b+2)/3 + 2b + 6 = 0 2b/3 = 8/3 - 6 2b = 8 - 18 = -10 b = -5 Substituindo b = -5 em (***), a = 1. Logo, a equação é: y = x² - 5x + 6 Para saber qual o ponto de mínimo basta verificar onde a derivada se anula; (x² - 5x + 6)' = 0 <=> 2x - 5 = 0 => x = 5/2 Se você não quer usar derivada, basta usar a expressão do Xvértice e Yvértice (que basicamente é a derivada da equação genérica de uma expressão de segundo grau, Xv = -b/(2a) = -(-5)/2 )... Para x = 5/2, y = 25/4 - 25/2 + 6 = -6.5. Portanto, a imagem da função vai de y = -6.5 até infinito. Ou seja, Im = [-6.5, inf). d) Raízes são onde y = 0. Portanto, x = 2 e x = 3. e) A função é positiva para todo x < 2 ou x > 3. E negativa para todo x>=2 e x<=3. f) Você pode fazer um estudo usando derivada. Mas não há necessidade aqui. A função é decrescente para todo x < 5/2 e crescente para todo x > 5/2. Em x = 5/2 ela não cresce nem decresce.

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