Matematyka
Niewiedzący7
2

Witam. Mam pytania odnośnie trygonometrii. zad. 1) niech a=sin2, b=cos2. Wówczas: a) a=b b) a>b c) a0 i cosx>0 b) sinx<0 i cosx<0 c) sin(s+pi/2)*cos(x+pi/2)<0 Znów moje pytanie: Skąd mam wiedzieć, jaka zależność zachodzi?   zad3) Funkcja y=sin2x+cos(pi)x, xER a) jest okresowa b) ma ograniczony zbiór wartości c) przyjmuje tylko wartości dodatnie   zad.4) Funkcja y=sin2x+sin3x a) jest okresowa b) ma zbiór wartości zawarty w przedziale (-5,5) c) ma nieskończenie wiele miejsc zerowych   zad.5) Dane są funkcje określone wzorami f(x)=tgx i g(x)=sinx/cosx. Wówczas: a) dziedziny funkcji f i g są równe b) funkcje f i g są równe c) funkcje f i g są równe w przedziale (0, pi/2)   zad.6) Dane są funkcje określone wzorami f(x)=1 i g(x)=tgx*ctgx a) dziedziny funkcji f i g są równe b) funkcje f i g są równe c) funkcje f i g są równe w przedziale (0, pi/2)   Proszę o komentarz do każdego podpunktu - dlaczego tak a nie inaczej. Z góry dziękuję.

+0
(1) Odpowiedź
yellowsea

Zad. 1.   a=sin(2)=sin(2rad)=sin(2/pi*180 st)=ok. sin(114,59155902616464175359630962821 st) b=cos(2)=cos(2rad)=cos(2/pi*180s st)=ok. cos(114,59155902616464175359630962821 st)   Wystarczy spojrzeć na wykres sin(x) oraz cos(x). Nasz kąt należy do przedziału (90 stopni, 180 stopni). W tym przedziale sin(x) maleje z 1 do 0, a cos(x) maleje z 0 do -1.  Maleją w takim samym tempie, więc sin(x) w tym przedziale jest zawsze większe niż cos(x).   Zatem prawdziwa jest odpowiedź B: a>b, czyli sin(2)>cos(2)   Zad. 2.   ctg(x)=2, więć x=arc ctg(2)=ok. 0.4636 (rad)=ok. 26,56 stopni W przedziale (0 stopni, 90 stopni) sin(x) oraz cos(x) są dodatnie. Zatem prawdziwa jest odpowiedź A. Jeśli dodamy pi/2, czyli 90 stopni, to wylądujemy w przedziale (90 stopni, 180 stopni), w którym sin(x) jest dodatni, a cos(x) jest ujemny, więc jeśli wymnożymy te 2 wartości przez siebie to otrzymamy wartość ujemną. C jest więc także prawdziwe.   Odpowiedzi: A,C   Zad. 3.   y=sin(2x)+cos(pi*x) Jeśli mamy 2 funkcje okresowe o wspólnej dziedzinie (a tak jest w tym przypadku), to ich suma jest także okresowa. Zatem A jest prawdziwe.   sin(2x) e (-1,1) cos(pi*x) e (-1,1)   Zatem wartość sumy nigdy nie wyjdzie poza (-2,2). B jest zatem również prawdziwe.   Czy przyjmuje tylko wartości dodatnie? Nie. Na przykład dla x=-1 mamy y=sin(-2)+cos(-pi)=ok. -0,90929742682568169539601986591174 + 0 < 0   Odpowiedzi: A,B.   Zad. 4.   y=sin(2x)+sin(3x)   Na tej samej zasadzie co wcześniej, A jest prawdziwe. Zbiór wartości nie wykracza poza zakres (-2,2), a więc tym bardziej zawiera się w przedziale (-5,5) (jest nawet mniejszy). Czyli B jest prawdziwe.   Odnośnie C: szukamy rozwiązania dla sin(2x)+sin(3x)=0 Czyli sin(2x)=-sin(3x) Jest to prawdziwe chociażby dla x=k*pi, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. A takich rozwiązań jest nieskończenie wiele. Czyli prawda.   Zatem odpowiedzi: A,B,C.   Zad. 5.   f(x)=tg(x) g(x)=sin(x)/cos(x)   tg(x)=sin(x)/cos(x) Czyli f(x)=g(x)   Zatem prawdziwe są: A,B,C.   Zad. 6.   f(x)=1 g(x)=tg(x)*ctg(x)=(sin(x)/cos(x))*(cos(x)/sin(x))=1   Ale tutaj dziedziny nie są równe, ponieważ przy pisaniu tg(x) oraz ctg(x) założyliśmy, że x nie może przyjąć takiej wartości, dla których tg(x) lub ctg(x) nie istnieje (czyli tam gdzie sin(x)=0 lub cos(x)=0). Zatem A jest fałszywe.   Funkcje są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą dziedzinę i przeciwdziedznię. Zatem B jest fałszywe.   Jednak w przedziale (0,pi/2)  nie ma takich wartości, które wykluczamy, czyli na tym przedziale funkcje są równe.   Odpowiedź: C.

Dodaj swoją odpowiedź