Matematyka
bosskikris
1

Dla jakiej wartości parametru m suma trzech różnych pierwiastków rzeczywistych równania  m²x³+x² +2mx=0  wynosi -1?  

+0
(1) Odpowiedź
lycealist

[latex]m^2x^3 + x^2 + 2mx = 0[/latex] [latex]x \cdot (m^2x^2 + x + 2m) = 0[/latex] [latex]x = 0 \vee m^2x^2 + x + 2m = 0[/latex]   Zatem jednym z pierwiastków będzie x = 0, więc aby równanie miało trzy pierwiastki, to równanie m²x² + x + 2m = 0 musi mieć dwa pierwiastki. Stąd: m² ≠ 0, czyli m ≠ 0 oraz Δ > 0. Zatem: [latex]\Delta = 1^2 - 4 \cdot m^2 \cdot 2m = 1 - 8m^3[/latex]   [latex]1 - 8m^3 > 0[/latex] [latex](1 - 2m)(1 + 2m + 4m^2) > 0[/latex] Znajdziemy miejsca zerowe: [latex](1 - 2m)(1 + 2m + 4m^2) = 0[/latex] [latex]1 - 2m = 0 \vee 1 + 2m + 4m^2 = 0[/latex]   [latex]1 - 2m = 0[/latex] [latex]-2m = - 1 \ /:(-2)[/latex] [latex]m = \frac{1}{2}[/latex]   [latex]1 + 2m + 4m^2 = 0[/latex] [latex]\Delta = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = - 12 < 0[/latex] równanie nie ma rozwiązań   Zaznaczamy miejsce zerowe ½ na osi i rysujemy przybliżony wykres (patrz załącznik). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności 1 - 8m³ > 0: [latex]m \in (-\infty; \ \frac{1}{2})[/latex]   Zatem równanie m²x² + x + 2m = 0 będzie miało dwa pierwiastki dla m ≠ 0 i m ∈ (- ∞; ½).   Pozostaje sprawdzić, dla jakiej wartości parametru m, suma tych dwóch pierwiastków wynosi - 1, bo jednym z trzech pieriwastków, jak ustaliliśmy wcześniej, jest x = 0, czyli suma pierwiastków równania m²x² + x + 2m = 0 musi wynosić  - 1.   Skorzystamy ze wzorów Viete'a: Jeśli x₁ i x₂ są pierwiastkami równania kwadratowego ax² + bx + c = 0 to x₁ + x₂ = -b/a. Zatem: [latex]m^2x^2 + x + 2m = 0[/latex] [latex]x_1 + x_2 = \frac{-1}{m^2}[/latex] [latex]x_1 + x_2 = - 1[/latex] Stąd: [latex]-1 = \frac{-1}{m^2} \ / \cdot m^2[/latex] [latex]-m^2 = - 1 \ / \cdot (- 1)[/latex] [latex]m^2 = 1[/latex] [latex]m = 1 \vee m = - 1[/latex] Zatem uwzgledniając wcześniejsze ustalenia: m ≠ 0 i m ∈ (- ∞; ½) otrzymujemy: [latex]m = -1[/latex]   --------------------------------------------------- Sprawdzenie: m = - 1 m²x³ + x² + 2mx = 0 x³ + x² - 2x = 0 x·(x² + x - 2) = 0 x = 0  v x² + x - 2 = 0   x = 0 x₁ = 0   x² + x - 2 = 0 Δ = 1² - 4 · 1 · (- 2) = 1 + 8 = 9; √Δ = 3 x₂ = ⁻¹⁻³/₂·₁ = ⁻⁴/₂ = - 2 x₃ = ⁻¹⁺³/₂·₁ = ²/₂ = 1   x₁ + x₂ + x₃ = 0 - 2 + 1 = - 1 ---------------------------------------------------   Odp. m = - 1  

Dodaj swoją odpowiedź