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matteo3656
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Soient f et g les fonctions définies sur l’ensemble R des nombres réels par : f(x) = xe1−x et g(x) = x2e1−x. Les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal !O, −→ i , −→j " sont respectivement notées C et C ′. Leur tracé est donné en annexe. 1) Etude des fonctions f et g a) Déterminer les limites des fonctions f et g en −∞. b) Justifier le fait que les fonctions f et g ont pour limite 0 en +∞ Pour cela, on démontrera d’abord que pour tout réel non nul x, f(x) = e ×/1ex/x et g(x) =e/4 ×1/(e^(x/2)/x/2)²

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(1) Réponses
louise74

Bonjour Cmcmed [latex]a)\ \lim_{x\to-\infty}\ f(x)=\lim_{x\to-\infty}\ xe^{1-x}[/latex]  On sait que  [latex]\lim_{x\to-\infty}\ x=-\infty[/latex] et que [latex]\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=\lim_{x\to-\infty}\ (e^1\times e^{-x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=\lim_{x\to-\infty}\ (e\times e^{-x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=(\lim_{x\to-\infty}\ e)\times (\lim_{x\to-\infty}\ e^{-x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=e\times (\lim_{x\to+\infty}\ e^{x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=e\times (+\infty)\\\\\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x}=+\infty[/latex] D'où [latex]\lim_{x\to-\infty}\ f(x)=\lim_{x\to-\infty}\ xe^{1-x}\\\\\lim_{x\to-\infty}\ f(x)=(\lim_{x\to-\infty}\ x)\times(\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ f(x)=(-\infty})\times(+\infty)\\\\\boxed{\lim_{x\to-\infty}\ f(x)=-\infty}}[/latex] De même, [latex]\lim_{x\to-\infty}\ g(x)=\lim_{x\to-\infty}\ x^2e^{1-x}\\\\\lim_{x\to-\infty}\ g(x)=(\lim_{x\to-\infty}\ x^2)\times(\lim_{x\to-\infty}\ e^{1-x})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ g(x)=(+\infty})\times(+\infty)\\\\\boxed{\lim_{x\to-\infty}\ g(x)=+\infty}}[/latex] b) Pour tout réel non nul x, [latex]f(x)=xe^{1-x}\\\\f(x)=x\times e^{1}\times e^{-x}\\\\f(x)=x\times e\times \dfrac{1}{e^{x}}\\\\f(x)=e\times \dfrac{x}{e^{x}}\\\\\boxed{f(x)=e\times \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}}[/latex] De même,  [latex]g(x)=x^2e^{1-x}\\\\g(x)=x^2\times e^{1}\times e^{-x}\\\\g(x)=x^2\times e\times \dfrac{1}{e^{x}}\\\\g(x)=e\times \dfrac{x^2}{e^{x}}\\\\\boxed{g(x)=e\times \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2}}}[/latex] Nous savons que   [latex] \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty[/latex] D'où [latex] \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}=0[/latex] Par conséquent,  [latex] \lim_{x \to +\infty} f(x)= \lim_{x \to +\infty} (e\times \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}) \\ \lim_{x \to +\infty} f(x)= e\times\lim_{x \to +\infty} ( \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}) \\ \lim_{x \to +\infty} f(x)= e\times0\\\\\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x)=0}[/latex] De même, nous savons que   [latex] \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}=+\infty[/latex] D'où [latex] \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2}}=0[/latex] Par conséquent, [latex] \lim_{x \to +\infty} g(x)= \lim_{x \to +\infty} (e\times \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2}})\\\\\\\lim_{x \to +\infty} g(x)= e\times\lim_{x \to +\infty} ( \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2}}) \\ \lim_{x \to +\infty} g(x)= e\times0\\\\\boxed{\lim_{x \to +\infty} g(x)=0}[/latex]

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